Harmonijska Spregnutost 
Vrsta: Seminarski | Broj strana: 16 | Nivo: Prirodno matematički fakultet, Beograd

HARMONIJSKA SPREGNUTOST U EUKLIDSKOJ RAVNI I EUKLIDSKOM PROSTORU
Definicija 1. Neka su A,B,C,D četiri razne kolinearne tačke. Kaže se da je par tačaka A,B harmonijski spregnut sa pa rom tačaka C,D i simbolički obilježava sa H(A,B;C,D) ako je zado voljena relacija
EMBED Equation.3
Ako je par tačaka A,B harmonijski spregnut sa parom tačaka C,D kaže se da su A,B,C,D četiri harmonijske tačke.
Teorema 1.
Ako su A,B,C,D četiri harmonijske tačke jedne prave tada važe relacije H(A,B;C,D) i H(C,D;A,B).
Dokaz: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Definicija 2. Za četiri prave a,b,c,d kaže se da su harmo ni jski spregnute i simbolički se obeležava sa H(a,b;c,d) ako pripa daju jednom pramenu i ako postoji prava koja ih seče u harmo ni j skim tačkama.
) ako pripa da ju jednom pramenu i ako postoji prava koja ih prodire u harmoni j skim tačkama.d,g;b,a kaže se da su harmo ni jski spregnute i simbolički obeležava sa H(d,g,b,aDefinicija 3. Za četiri ravni
Teorema 2.
Ako su A,B,C,D četiri razne tačke neke prave p, O - tačka van prave p, a E i F tačke u kojima prava kroz B paralelna sa OA se če OC i OD dokazati da je H(A,B;C,D) ako i samo ako je tačka B sre d i šte duži EF.
Dokaz:
Slika 1.
BF. Iz ove jednakosti sledi da je tačka B središte duži EF.-=AO:BF i prema tome je BE-=AO:BF. Otuda je AO:BE=AO:BE i AD:BD=Dokažimo da je uslov potreban. Iz H(A,B;C,D) sledi da je AC:BC=-AD:BD. Trouglovi OAC i EBC su slični, kao i trouglovi OAD i FBD, jer su uglovi jednog trougla podudarni uglovima dru gog trougla, pa je AC:BC
Da je uslov dovoljan dokazuje se obrnutim postupkom.
Zadatak: Za tri date kolinearne tačke A,B,C (C nije sredi š te duži AB) odrediti tačku D takvu da je H(A,B;C,D).
Prema definiciji harmonijske spregnutosti para tačaka A,B sa parom tačaka C,D tačka C deli duž AB u istom odnosu kao i tačka D. Tačka D treba da deli duž AB spoljašwom podelom u odno su AC:CB. Kroz tačke A i B konstruišimo prave m i n koje su međusobno paralelne i različite od prave AB. Neka je M pro i zvoljna tačke prave m, a N tačka koja se dobiva u preseku pravih mc i n. Sa suprotne strane tačke B, na pravoj n je tačka N1 takva da je BN=BN1. Tražena tačka D dobija se u preseku prave AB i prave MN1.
... 

---------- CEO RAD MOŽETE PREUZETI NA SAJTU. ---------- 

www.maturski.org 

 

MOŽETE NAS KONTAKTIRATI NA E-MAIL: [email protected]